区间DP

前言

本讲通过三道例题来感受下区间DP、计数类DP、数位统计类DP的基本思想。

区间DP

例题 合并石子

题目描述

设有 N 堆石子排成一排，其编号为 1~N 。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这 N 堆石子合并成为一堆。

每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有 堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并1 、2 堆，代价为4 ，得到 4 5 2， 又合并1 、2 堆，代价为9 ，得到 9 2 ，再合并得到11 ，总代价为 4+9+11=24；

如果第二步是先合并2 、3 堆，则代价为7 ，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

输入格式

第一行一个数 N 表示石子的堆数 。

第二行 N 个数，表示每堆石子的质量(均不超过 1000)。

数据范围：1 <= N <=300

输出格式

输出一个整数，表示最小代价。

输入样例

4
1 3 5 2

输出样例

22

题目分析

解题思路： 关键点：最后一次合并一定是左边连续的一部分和右边连续的一部分进行合并。

最终答案：f[1][n]

区间DP常用模板

所有的区间DP问题枚举时，第一维通常是枚举区间长度，并且一般 len = 1 时用来初始化，枚举从 len = 2 开始；第二维枚举起点 i（右端点 j = i + len - 1 计算得到）

for (int len = 1; len <= n; len++) {         // 区间长度
    for (int i = 1; i + len - 1 <= n; i++) { // 枚举起点
        int j = i + len - 1;                 // 区间终点
        if (len == 1) {
            dp[i][j] = 初始值
            continue;
        }

        for (int k = i; k < j; k++) {        // 枚举分割点，构造状态转移方程
            dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + w[i][j]);
        }
    }
}

示例代码 时间复杂度 O(n^3)

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N = 333;

int f[N][N], s[N];


int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> s[i], s[i] += s[i - 1];
    
    for(int len = 2; len <= n; len ++) {
        for(int i = 1; i + len - 1 <= n; i++)
        {
            int j = i + len - 1;
            f[i][j] = 1e9;
            
            for(int k = i; k < j; k++)
                f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k + 1][j] + s[j] - s[i-1]);
        }
    }
    cout << f[1][n];
    return 0;
}