排列组合

1.从一个4x4的棋盘中选取不在同一行也不在同一列的两个方格，共有_____种方法？
对每个位置，与其在不同行不同列的方格有3*3=9个，公共有4*4=16个位置，共16*9
种，考虑AB和BA位置会重复，答案为16*9/2=72种。
  
2.5个小朋友并排站成一列，其中两个小朋友是双胞胎，如果要求双胞胎必须相邻，有_____种不同的排列方法？
捆绑法，双胞胎看作一个人，最后再乘以A(2,2)，答案为A(4,4)*A(2,2) = 24*2 = 48。

3.有5副不同颜色的手套（共10只，每副手套左右手各一只），一次性从中取出6只手套，恰好配成两副手套的不同取法有______种？
先取两幅凑成一对的组合C(5,2)=10种，剩下3副共6只，先取出两幅C(3,2)，再从每一副取一只C(2,1)，答案为C(5,2)*C(3,2)*C(2,1) = 120.

4.由数字1、1、2、4、8、8所组成的不同的4位数的个数是______？
分情况讨论：共102种。
1、1、2、4组成,有A(4
,4)/A(2,2)=4×3=12(种)；同理：1、1、2、8；1、1、4、8；1、2、8、8；1、48、8；2、4、8、8组成，各有12种；共有12×6=72种。
1、2、4、8组成，有A(4，4)=4×3×2×1=24(种)
1、1、8、8组成，有A(4，4)/A(2,2)*A(2,2)=6(种)

5.一些数字可以颠倒过来，如0，1，8，6颠倒为9，9颠倒为6，其他数字颠倒后不构成数字，假设某个城市的车牌只由5位数字构成，每一位都可以取0~9，请问这个城市最多有______个车牌颠倒过来恰好还是原来的车牌？
前两位可以取0，1，8，6，9，第三位只能取0，1，8，后两位由前两位决定，
一共有5*5*3=75种

6.6个相同小球需要放到3个不同的杯子里，每个杯子至少一个，有_____种分法？
插空法，0 |0 0| 0 0 0看作6个球，相当于从中间5个缝隙选择两个插入隔板，把小球分为3份，C(5,2) = 10.

7.10个三好学生分配到7个班级，每个班级至少1个名额，一共有____种不同分配方法？
先保证每个班级一个名额，剩下3个名额分情况讨论：
C(7, 1) + C(7, 1)*C(7,6) + C(7, 3) = 84
先让每个班均分到一个名额，接着分三种情况讨论分配剩下三个名额：
1.7个班任选三个班分配名额C(7,3) = 35
2.三个名额一起，任选一个班级分配(7,1) = 7
3.两个名额捆绑给一个班，还一个给另外一个班，C(7, 1)*C(6,1) = 42
总共方案 = 35 + 7 + 42 = 84种。
或者用插板法，相当于10个小球分为7堆，每堆至少一个1个，9空插6板C(9,6) = 84.

8.把8个同样的球放在5个同样的袋子里，允许有的袋子空着不放，共有____种不同分法？
分类讨论：
只放1个袋子：8   1种
放两个袋子：7 1、6 2、5 3、4 4  4种
放3个袋子：6 1 1、5 2 1、4 3 1、4 2 2、3 3 2  5种
放4个袋子：5 1 1 1、4 2 1 1、3 3 1 1、3 2 2 1、2 2 2 2  5种
放5个袋子：4 1 1 1 1、3 2 1 1 1、 2 2 2 1 1 3种
共 1 + 4 + 5 + 5 + 3 = 18种

9.将7个名额分配给4个不同班级，允许有的班级没有名额，共有____种不同分配方法？
可以将问题转换为11个球分为4组的问题
1 1 1 | 1 1| 1 1| 0 0 0 0
使用插板法相当于10个间隙选3个C(10,3) = 120

10.7个一模一样的苹果，放到3个一模一样的盘子中，有____种放法？
各种可能的放置情况如下：（7，0，0），（6，1，0），（5，2，0），（5，1，1），（4，3，0），（4，2，1），（3，3，1），（3，2，2），共8种；答：共有8种不同的放法．

11.6个⼈，两个⼈组⼀队，总共组成三队，不区分队伍的编号，不同的组队情况有（   ）。 
A.10 	         B.15 	        C.30 	       D.20 
解析： B 
解法一：较容易理解
先从6个里面选2个有C(6,2) = 15种选法
再从4个里面选2个有C(4,2) = 6种选法
但是这样会有重复，重复的次数是A(3,3)=3!=6
15*6/6=15


12.甲、乙、丙三位同学选修课程，从 4 门课程中，甲选修 2 门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（    ）种。
A.36               B. 48             C. 96             D. 192
答案：C
解析：C(4,2)*C(4,3)*C(4,3)=6*4*4=96种，答案C

13.10000 以内，与 10000 互质的正整数有（ ）个。
A. 2000           B. 4000            C. 6000           D. 8000
答案：B
解析：10000的质因子：2，5，能被2整除的数：5000个，能被5整除的数2000个，能同时被2和5整除的数1000个，所以能被2或5整除的数有5000+2000-1000=6000个，则互质的数有10000-6000=4000个。

14.从 1 到 2018 这 2018 个数中，共有__________个包含数字 8 的数。
答案：544
解析：
1-9:1
10-99:8+
包含数字 8 的数是指有某一位是“8”的数，例如“2018”与“188”，自己算一下就能得出结果

15.设含有 10 个元素的集合的全部子集数为 S，其中由 7 个元素组成的子集数为
T，则 T / S 的值为（ ）。
答案：15/128
解析：
T = C(10,7)=120
S = 2^10 = 1024

16.在一条长度为1的线段上随机取两个点，则以这两个点为端点的线段的期望长度是( )。
答案：1/3

17.一位程序员设置密码时，从字母 A～Z 中选择 4 个字母组成密码，要求首尾两个字母相同，且中间两个字母与其他字母不同。这样的密码共有_____种？
答案：C(26,1)*A(25,2) = 15600

18.小魔女有一个魔法口袋，里面装有 5 颗红糖、3 颗绿糖和 2 颗黑糖。她闭着眼睛一次性抓出两颗糖果，请问她抓到同颜色糖果的概率是多少？
答案：{[C(5,2)+C(3,2)+C(2,2)]/C(10,2)}=14/45


19.一个袋子中有 3 个红球、2 个白球、1 个黑球，从中任意抽出 2 个球，求恰好抽到一红一白的概率。
答案：C(3,1)*C(2,1)/C(6,2)=6/15=2/3

20.从一副扑克牌（去除大小王）中任取两张，求这两张是同花色的概率。PS：一副完整的扑克牌有54张，4种花色，每种13张。
答案：C(4,1)*C(13,2)/C(52,2)=4/17