引入问题

给出一个长度为$n$的数组，完成以下两种操作：
1. 将第$i$个数加上$k$
2. 输出区间$[i,j]$内每个数的和

朴素算法

1. 单点修改：$O(1)$
2. 区间查询：$O(n)$

使用树状数组

1. 单点修改：$O(logn)$
2. 区间查询：$O(logn)$

前置知识

$lowbit()$运算：非负整数$x$在二进制表示下最低位1及其后面的0构成的数值。

举例说明：
$lowbit(12) = lowbit([1100]_2) = [100]_2 = 4$

函数实现：

int lowbit(int x)
{
    return x & -x;
}

树状数组思想

树状数组的本质思想是使用树结构维护”前缀和”，从而把时间复杂度降为$O(logn)$。

对于一个序列，对其建立如下树形结构：

1. 每个结点t[x]保存以x为根的子树中叶结点值的和
2. 每个结点覆盖的长度为lowbit(x)
3. t[x]结点的父结点为t[x + lowbit(x)]
4. 树的深度为$log_2n + 1$

树状数组操作

• add(x, k)表示将序列中第x个数加上k。
  
  以add(3, 5)为例：
  在整棵树上维护这个值，需要一层一层向上找到父结点，并将这些结点上的t[x]值都加上k，这样保证计算区间和时的结果正确。时间复杂度为$O(logn)$。

void add(int x, int k)
{
    for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
        t[i] += k;
}

• ask(x)表示将查询序列前x个数的和
  
  以ask(7)为例：
  查询这个点的前缀和，需要从这个点向左上找到上一个结点，将加上其结点的值。向左上找到上一个结点，只需要将下标 x -= lowbit(x)，例如 7 - lowbit(7) = 6。

int ask(int x)
{
    int sum = 0;
    for(int i = x; i; i -= lowbit(i))
        sum += t[i];
    return sum;
}